Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，交于.設(shè)，請(qǐng)求出的最大值和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

備用圖

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）的最大值為，此時(shí)；（3）(，)或(，)

【解析】

（1）把點(diǎn)B(3，0)代入先求得c的值，再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，作軸于N，交BC于M，先用m表示出，再作于E，于F，得到，即，推出，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）過(guò)M，E分別作軸，軸的垂線交于H，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，證得，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，代入即可得n的值，即可求解．

（1）∵與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，

∴，解得，

∴，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，

∴

解得，

∴拋物線解析式為；

當(dāng)時(shí)，，

解得：

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，連接PC，PB，過(guò)P作軸于N，交BC于M，

由（1）知：直線的解析式為，

∴，

則，，

∴，

∴

，

連接AC，分別過(guò)A，P作于E，于F，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)；

（3）過(guò)M，E分別作軸，軸的垂線交于H，

∴∠H=90，∠MEH=∠OME，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠CME=90，EM=MC，

∴∠CMO+∠OME=90，∠CMO+∠MCO=90，

∴∠MEH=∠MCO，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，

根據(jù)題意將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，

則點(diǎn)M在軸正半軸上，即，

在Rt△MEH和Rt△MCO中，

，

∴，

∴，，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(，)，

把代入E (，) 代入，

整理得：，

解得，.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(，)或(，).