Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是邊BC的中點，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E

（1）求證：PD＝PE；

（2）DE與BC平行嗎？請說明理由；

（3）請添加一個條件，使四邊形ADPE為正方形，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE∥BC，理由見解析；（3）當∠A＝90°時，使四邊形ADPE為正方形

【解析】

（1）由已知條件，利用角角邊可證△PDB≌△PEC，所以PD＝PE;

（2）由（1）中△PDB≌△PEC可得BD=CE，結合條件AB=AC，利用平行線分線段成比例的逆定理可得出DE∥BC.

（3）∠A=90°時，易得四邊形ADPE為矩形，由鄰邊AD=AE可得 四邊形ADPE為正方形.

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，

∴∠PDB＝∠PEC＝90°，

∵P是BC的中點，

∴BP＝PC，

即∠BDP＝∠PEC＝90°，∠B＝∠C，PB＝PC，

∴△PDB≌△PEC（AAS），

∴PD＝PE．

（2）答：DE∥BC，

理由是：∵△PDB≌△PEC，

∴BD＝CE，

∵AB＝AC，

∴＝，

∴DE∥BC．

（3）答：當∠A＝90°時，使四邊形ADPE為正方形，

證明：∵∠A＝∠ADP＝∠AEP＝90°，

∴四邊形ADPE是矩形，

∵AB＝AC，BD＝CE，

∴AD＝AE，

∴矩形ADPE是正方形，

即當∠A＝90°時，使四邊形ADPE為正方形．