Question

【題目】如圖①已知△ACB和△DCE為等腰直角三角形，按如圖的位置擺放，直角頂點

C重合．

（1）求證：AD=BE；

（2）將△DCE繞點C旋轉得到圖②，點A、D、E在同一直線上時，若CD=,BE=3，

求AB 的長；

（3）將△DCE繞點C順時針旋轉得到圖③，若∠CBD=45°，AC=6，BD=3，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）9

【解析】（1）利用等腰直角三角形的性質求出∠ACD=∠ECB，用SAS證明△ACD≌△BCE即可；（2）利用（1）的結論∠AEB=90°，在Rt△AEB中，用勾股定理求出AB；（3）連接AD, 求出∠ABD=90°，在Rt△ADB中，用勾股定理求出AD，由△ACD≌△BCE即可求得BE．

解：（1）∵△ACB和△DCE為等腰直角三角形

∴AC=CB，DC=CE，

∠ACB=90°, ∠DCE=90°

∴∠ACB-∠DCB =∠DCE-∠DCB

即∠ACD=∠ECB

∴△ACD≌△BCE (SAS)

∴AD=BE

（2）解：

∵△DCE為等腰直角三角形

∴DC=EC=

∴DE=2

∵△ACD≌△BCE (SAS)

∴AD=BE=3

∠ADC=∠BEC=180°-45°=135°

∴∠AEB=135°-45°=90°

在Rt △AEB中，AB=

（3）連接AD,

∵△ACB為等腰直角三角形

∴AC=BC=6, ∠ABC=45°

∴AB=

∵∠CBD=45°

∴∠ABD=45°+45°=90°

在Rt △ADB中，AD=

∵△ACD≌△BCE (SAS)

∴AD=BE=9

“點睛”本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形及勾股定理的運用，解題關鍵是證明兩個三角形全等，解題時要考慮輔助線的作法．