Question

【題目】如圖，以等邊△ABC的邊BC為直徑作⊙O，分別交AB、AC于點D、E，過點D作DF⊥AC交AC于點F．

(1)求證：DF是⊙O的切線；

(2)若等邊△ABC的邊長為8，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）連接、，先利用等腰三角形的性質證，再證為的中位線得，根據可得；

（2）連接、作，求出、的長及的度數，根據陰影部分面積計算可得．

(1)證明：連接OD、CD

∵DF⊥AC

∴∠AFD＝90°.

∵BC是⊙O的直徑

∴∠CDB＝90°

∴CD⊥AB.

又∵△ABC是等邊三角形

∴BD＝AD

∵OB＝OC

∴OD是△ABC的中位線

∴OD//AC

∴∠FDO＝∠AFD＝90°

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切線

(2)連接OE，作OG⊥AC于G則∠OGF＝∠GFD＝∠FDO＝90°

∴四邊形ODFG是矩形

∴OD＝FG＝

又∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠ACB＝60°

∴△OBD、△OCE是等邊三角形

∴∠BOD＝∠COE＝60°，CE＝OC＝4.

∴∠DOE＝60°，EG＝

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∴