Question

【題目】如圖8，在平面直角坐標系xOy中，A(0，8)，B(0，4)，點C在x軸的正半軸上，點D為OC的中點．

（1）當BD與AC的距離等于2時，求線段OC的長；

（2）如果OE⊥AC于點E，當四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線BD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2） y＝－x＋4.

【解析】

（1）作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，確定出G坐標，由平行線間的距離相等求出BF的長，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長，進而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根據OA的長求出x的值，即可確定出C坐標；

（2）根據平行四邊形的性質可得出DE⊥OC，利用等腰三角形的三線合一可得出△OEC為等腰三角形，結合OE⊥AC可得出△OEC為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得出點C、D的坐標，由點B、D的坐標，利用待定系數法即可求出直線BD的解析式．

（1）如圖1，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，則G（0，6），

∵BD∥AC，BD與AC的距離等于2，

∴BF=2，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=4，點G為AB的中點，

∴FG=BG=AB=2，

∴△BFG是等邊三角形，∠ABF=60°，

∴∠BAC=30°，

設OC=x，則AC=2x，

根據勾股定理得：OA==x，

∵OA=8，

∴x=，

∵點C在x軸的正半軸上，

∴點C的坐標為（，0）；

（2）如圖：

∵四邊形ABDE為平行四邊形，

∴DE∥AB，

∴DE⊥OC，

∵點D為OC的中點，

∴△OEC為等腰三角形，

∵OE⊥AC，

∴△OEC為等腰直角三角形，

∴∠C=45°，

∴點C的坐標為（8，0），點D的坐標為（4，0），

設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），

將B（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，

得：，解得：，

∴直線BD的解析式為y=-x+4．