【題目】如圖，二次函數
（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．若以BD為直徑的⊙M經過點C．
（1）請直接寫出C，D的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）求拋物線的函數表達式；
（3）⊙M上是否存在點E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，請求出所滿足的條件的E的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）C的坐標為（0，﹣3a），D的坐標為（1，﹣4a）；（2）
；（3）（4，1）、（
，
）．
【解析】
試題分析：（1）計算橫坐標為0的函數值即可得到C點坐標，然后將解析式配成頂點式即可得出點D的坐標；
（2）先利用二次函數與x軸的交點問題確定A點和B點坐標，再根據圓周角定理得到∠BCD=90°，則根據兩點間的距離公式表示出BC，CD，BD，接著利用勾股定理建立方程，然后解方程求出a即可得到二次函數解析式；
（3）先計算出
，
，再根據圓周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，則CD=BE，接著證明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，設E（x，y），根據兩點間的距離公式得
，
，然后解方程組得x=4，y=1或x=，y=，從而可得滿足條件的E點坐標．
試題解析：（1）當x=0時，
=﹣3a，則點C的坐標為（0，﹣3a）；
∵=
，∴點D的坐標為（1，﹣4a）；
（2）當y=0時，
，解得
，
，則A（﹣1，0），B（3，0），∵BD為⊙M的直徑，∴∠BCD=90°，而
=
，
=
=
，
=
=
，在Rt△BCD中，∵
，∴
，整理得
，解得a=﹣1或a=1（舍去）；∴拋物線解析式為：；
（3）存在．a=1，
，
，∵∠EDB=∠CBD，∴CD=BE，而BD為直徑，∴∠BED=90°，∴Rt△BED≌Rt△DCB，∴DE=BC，設E（x，y），∴
=
，
=
，∴，，解得x=4，y=1或x=，y=，∴滿足條件的E點坐標為（4，1）、（，）．
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知∠EAT=30°，AE=
，MN=
．
（1）求∠COB的度數；
（2）求⊙O的半徑R；
（3）點F在⊙O上（
是劣�。�，且EF=5，把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合．在EF的同一側，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】下列事件為必然事件的是( )
A. 任意買一張電影票，座位號是偶數 B. 打開電視機，正在播放動畫片
C. 3個人分成兩組，一定有2個人分在一組 D. 三根長度為2cm，2cm，4cm的木棒能擺成三角形
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直線為坐標軸，建立如圖1的平面直角坐標系．將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉，得到矩形ODEF，當點B在直線DE上時，設直線DE和x軸交于點P，與y軸交于點Q．
（1）求證：△BCQ≌△ODQ；
（2）求點P的坐標；
（3）若將矩形OABC向右平移（圖2），得到矩形ABCG，設矩形ABCG與矩形ODEF重疊部分的面積為S，OG=x，請直接寫出x≤3時，S與x之間的函數關系式，并且寫出自變量x的取值范圍．
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