Question

【題目】已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直線為坐標軸，建立如圖1的平面直角坐標系．將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉，得到矩形ODEF，當點B在直線DE上時，設直線DE和x軸交于點P，與y軸交于點Q．

（1）求證：△BCQ≌△ODQ；

（2）求點P的坐標；

（3）若將矩形OABC向右平移（圖2），得到矩形ABCG，設矩形ABCG與矩形ODEF重疊部分的面積為S，OG=x，請直接寫出x≤3時，S與x之間的函數關系式，并且寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）P的坐標是（5，0）；（3）S=．

【解析】

試題分析：（1）根據正方形性質得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根據全等三角形的判定推出即可；

（2）根據全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出，求出OQ=，DQ=，得出Q的坐標是（0，），求出直線BD的解析式，即可得出答案；

（3）過D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分為兩種情況：畫出圖形，求出GN，根據三角形的面積公式求出即可．

試題解析：（1）∵四邊形OABC和四邊形ODEF是矩形，∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，在△BCQ和△ODQ中，∵∠BCQ=∠ODQ，∠CQB=∠DQO，BC=OD，∴△BCQ≌△ODQ；

（2）∵△BCQ≌△ODQ，∴CQ=DQ，在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：，則，解得：OQ=，DQ=，即Q的坐標是（0，），∵矩形ABCO的邊AB=6，OA=3，∴B的坐標是（﹣3，6），設直線BD的解析式是，把B的坐標代入得：k=，即直線BD的解析式是，把y=0代入得：，解得：x=5，即P的坐標是（5，0）；

（3）過D作DM⊥OP于M，如圖1，∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，∴∠QOD=∠MDO，∴△QDO∽△OMD，∴，∴，即得：OM=，DM=，OG=x，x≤3，分為兩種情況：

①如圖2，當0≤x≤時，∵DM=，OM=，OG=x，CG∥DM，∴△ONG∽△ODM，∴，NG=，∴S=×OG×GN=，S=；

②如圖3，當＜x≤3時，在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD==4，∵DM=，OM=，∴PM=5﹣=，∵OG=x，CG∥DM，∴△PGN∽△PMD，∴，∴NG=，∴S=S△ADP﹣S△PGN=，S=，即S和x的函數關系式是S=（）和S=（），∴S=．