Question

【題目】將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B（–3，0）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標；

（3）在第一象限內的該拋物線上是否存在點G，使△AGC的面積與（2）中△APE的最大面積相等?若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+6．（2）點P的坐標為（，0）．（3）點G的坐標為（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）已知OA、OC的長，可得A、C的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式．

（2）設出點P的橫坐標，表示出CP的長，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面積表達式，進而可將面積問題轉換為二次函數的最值問題，根據函數的性質即可得到△APE的最大面積及對應的P點坐標．

（3）由于△AGC的面積無法直接求出，可用割補法求解，過G作GH⊥x軸于H，設出G點坐標，表示出△HGC、梯形AOHG的面積，它們的面積和減去△AOC的面積即可得到△AGC的面積表達式，然后將（2）題所得△APE的面積最大值代入上式中，聯立拋物線的解析式即可得到點G的坐標．

試題解析：（1）如圖，

∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A（0，6），

∴c=6．

∵拋物線的圖象又經過點（-3，0）和（6，0），

∴，

解之得，

故此拋物線的解析式為：y=-x2+x+6．

（2）設點P的坐標為（m，0），

則PC=6-m，S△ABC=BCAO=×9×6=27；

∵PE∥AB，

∴△CEP∽△CAB；

∴，

即，

∴S△CEP=（6-m）2，

∵S△APC=PCAO=（6-m）×6=3（6-m），

∴S△APE=S△APC-S△CEP=3（6-m）-（6-m）2=-（m-）2+；

當m=時，S△APE有最大面積為；

此時，點P的坐標為（，0）．

（3）如圖，過G作GH⊥BC于點H，設點G的坐標為G（a，b），

連接AG、GC，

∵S梯形AOHG=a（b+6），

S△CHG=（6-a）b，

∴S四邊形AOCG=a（b+6）+（6-a）b=3（a+b）．

∵S△AGC=S四邊形AOCG-S△AOC，

∴=3（a+b）-18，

∵點G（a，b）在拋物線y=-x2+x+6的圖象上，

∴b=-a2+a+6，

∴=3（a-a2+a+6）-18，

化簡，得4a2-24a+27=0，

解之得a1=，a2=；

故點G的坐標為（，）或（，）．