Question

【題目】如圖，在中，，點在上，以線段的長為半徑的與相切于點，分別交、于點、，連接并延長交延長線于點．

（1）求證：；

（2）已知的半徑為5．

①若，則__________；

②連接，當__________時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①，②5．

【解析】

（1）由AD是的切線推出，證得，推出∠OND,利用三角形的外角性質即可得出結論；

（2）①由勾股定理求出AD的長，再利用ΔAOD∽ΔABC相似，即可求得CD的長；

②連接DM,OM,由菱形的性質得DM的長，進而求得MC,BC的長度，再利用ΔAOD∽ΔABC相似即可求得AN的長.

（1）證明：∵是的切線，∴，

∴，∴，

∴．

又∵，∴．

∴．

∴．

（2）①在RtΔAOD中，OD=5,OA=ON+AN=8+5=13,

∴AD==,

∵，

∴ΔAOD∽ΔABC，

∴即,

∴CD=;

②如圖，連接OM,DM

當四邊形OBMD為菱形時，DM=BM=OB=OD=5

∵OM=5

∴ΔOMD是等邊三角形，

∴∠ODM=60,

∴∠CDM=90-∠ODM=30,

在RtΔMCD中，MC=DM=,

∴BC=BM+MC=5+=,

由①ΔAOD∽ΔABC得,

即,

∴AN=5,

當AN=5時，當四邊形OBMD為菱形.