Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為一邊的等邊三角形．

（1）如圖①，當點D在線段BC上時，求證：△AEB≌△ADC；

（2）如圖①，探究BE和AC的位置關系，并說明理由．

（3）如圖②，當點D在BC的延長線上時，（2）中結論還成立嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE∥AC；理由見解析；（3）成立；理由見解析.

【解析】

(1)可求出∠EAB=∠DAC，隨即利用SAS即可證明全等.

(2) 根據△AEB≌△ADC可得∠ABE=∠C=∠BAC =60°，再利用∠ABE=∠BAC可求平行.

(3) △AEB≌△ADC依舊成立，可證明∠AEB=∠EAC，隨即可得平行.

（1）證明：∵AB=AC，∠C=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∵△ADE是等邊三角形，

∴AE=AD，∠EAD=60°，

∴∠EAB=∠DAC，

在△AEB和△ADC中，

，

∴△AEB≌△ADC（SAS）；

（2）解：BE∥AC，

理由如下：∵△AEB≌△ADC，

∴∠ABE=∠C=60°，

∴∠ABE=∠BAC，

∴BE∥AC；

（3）解：成立，

理由如下：由（1）的方法可以證明△AEB≌△ADC，

∴∠AEB=∠ADC，

∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=60°，∠EAC+∠CAD=∠EAD=60°，

∴∠ADC=∠EAC，

∴∠AEB=∠EAC，

∴BE∥AC．