Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=2，AB=5，BC=10，點E是邊BC上的一個動點（不與B,C重合），作∠AEF=∠AEB,使邊EF交邊CD于點F,(不與C，D重合），線段BE=______________時，△ABE與△CEF相似。

Answer 1

【答案】或8

【解析】

分類討論，當∠AEB=∠FEC時，根據正切函數，可得ME的長，根據線段的和差，可得答案，當∠AEB=∠EFC時，根據等腰三角形的性質，可得BM與ME的關系，根據線段的和差，可得答案；

解：如圖：過A作AM⊥BC，過D作DN⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，AM⊥BC，DN⊥BC，AD=2，BC=10，
∴BM=CN=4，BN=6，
又AB=5，
∴，
∴DN=AM=3

△ABE與△CEF相似有兩種情況，

（1）當∠AEB=∠FEC時
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠AEB=∠FEC=60°
由（1）知：AM=3，BM=4
∴，
∴，

（2）當∠AEB=∠EFC時，
∵∠AEF=∠AEB，
∴∠AEF=∠EFC，
∴AE∥DC，
∴∠AEB=∠C=∠B，
∴△ABE是等腰三角形，

如圖，過A 作AM⊥BC，
∴BM=ME（等腰三角形三線合一性質）．
∵BM=4，
∴BE=2BM=8，
綜上，當△ABE∽△CEF時，BE的長為或8；