Question

【題目】（問題探究）小敏在學習了Rt△ABC的性質定理后，繼續進行研究．

（1）（i）她發現圖①中，如果∠A＝30°，BC與AB存在特殊的數量關系是　 　；

（ii）她將△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC，如圖②，此時她證明了BC和AB的關系；請根據小敏證明的思路，補全探究的證明過程；

猜想：如果∠A＝30°，BC與AB存在特殊的數量關系是　 　；

證明：△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC，

（2）如圖③，點E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°，連接AE、AF、EF，將△ABE、△ADF折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與△AEF完全重合的三角形，連接AC，若∠EAF＝30°，AB2＝27，則△CEF的周長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）（i）BC＝AB；（ii）BC＝AB；（2）6

【解析】

（1）（i）在AB上截取BD＝BC，可證△BCD是等邊三角形，CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，可得BD＝AD＝CD＝BC，可得結論；

（ii）由折疊的性質可得AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，可證△ABH是等邊三角形，可得AB＝BH＝2BC；

（2）由折疊的性質可得AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△ADC，可得∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，由直角三角形的性質可求BC＝3，即可求解．

解：（1）（i）BC＝AB，

理由如下：在AB上截取BD＝BC，

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，且BD＝BC，

∴△BCD是等邊三角形，

∴CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，

∴∠ACD＝30°＝∠A，

∴AD＝CD，

∴BD＝AD＝BC，

∴BC＝AB；

（ii）∵將△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC，

∴△ABC≌△AHC，

∴AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，

∴∠BAH＝60°，且AB＝AH，

∴△ABH是等邊三角形，

∴AB＝BH，

∴BC＝BH＝AB；

（2）∵將△ABE、△ADF折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與△AEF完全重合的三角形，

∴AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，

∵AB＝AD，AC＝AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，

∵AB2＝27，

∴AB＝3，

∵tan∠BAC＝，

∴BC＝3＝CD，

∴△CEF的周長＝EC+CF+EF＝EC+CF+BE+DF＝BC+CD＝6．

故答案為：6．