Question

【題目】操作發現：如圖1，D是等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF，易證AF=BD（不需要證明）；

類比猜想：①如圖2，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其它作法與圖1相同，猜想AF與BD在圖1中的結論是否仍然成立。

深入探究：②如圖3，當動點D在等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′你能發現AF，BF′與AB有何數量關系，并證明你發現的結論。

③如圖4，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其它作法與圖3相同，猜想AF，BF′與AB在上題②中的結論是否仍然成立，若不成立，請給出你的結論并證明。

Answer 1

【答案】①成立，證明見詳解；②AF+BF′=AB，證明見詳解；③不成立，AF=AB+BF′，證明見詳解.

【解析】

類比猜想：①通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD；

深入探究：②AF+BF′=AB，利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的對應邊BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，所以AF+BF′=AB；

③結論不成立．新的結論是AF=AB+BF′；通過證明△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD（全等三角形的對應邊相等）；再結合（2）中的結論即可證得AF=AB+BF′．

解：類比猜想：①如圖2中，

∵△ABC是等邊三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等邊三角形的性質）；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，

∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的對應邊相等）；

深入探究：②如圖示

AF+BF′=AB；
證明如下：由①條件可知：∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF，

∴同理可證△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；

③結論不成立．新的結論是AF=AB+BF′；

如圖示：

證明如下：

∵等邊△DCF和等邊△DCF′，由①同理可知：

在△BCF′和△ACD中，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的對應邊相等）；
又由②知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．