Question

【題目】（2017濟寧，第21題，9分）已知函數的圖象與x軸有兩個公共點．

（1）求m的取值范圍，并寫出當m取范圍內最大整數時函數的解析式；

（2）題（1）中求得的函數記為C1．

①當n≤x≤﹣1時，y的取值范圍是1≤y≤﹣3n，求n的值；

②函數的圖象由函數C1的圖象平移得到，其頂點P落在以原點為圓心，半徑為的圓內或圓上，設函數C1的圖象頂點為M，求點P與點M距離最大時函數C2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）m＜且m≠0，；（2）①﹣2；②．

【解析】試題分析：（1）函數圖形與x軸有兩個公共點，則該函數為二次函數且△＞0，故此可得到關于m的不等式組，從而可求得m的取值范圍；

（2）先求得拋物線的對稱軸，當n≤x≤﹣1時，函數圖象位于對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，當當x=n時，y有最大值﹣3n，然后將x=n，y=﹣3n代入求解即可；

（3）先求得點M的坐標，然后再求得當MP經過圓心時，PM有最大值，故此可求得點P的坐標，從而可得到函數C2的解析式．

試題解析：（1）∵函數圖象與x軸有兩個交點，∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，解得：m＜且m≠0．

∵m為符合條件的最大整數，∴m=2，∴函數的解析式為．

（2）拋物線的對稱軸為x= =．

∵n≤x≤﹣1＜，a=2＞0，∴當n≤x≤﹣1時，y隨x的增大而減小，∴當x=n時，y=﹣3n，∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去），∴n的值為﹣2．

（3）∵=，∴M（，）．

如圖所示：

當點P在OM與⊙O的交點處時，PM有最大值．

設直線OM的解析式為y=kx，將點M的坐標代入得：，解得：k=，∴OM的解析式為y=x．

設點P的坐標為（x，x）．

由兩點間的距離公式可知：OP==5，解得：x=2或x=﹣2（舍去），∴點P的坐標為（2，1），∴當點P與點M距離最大時函數C2的解析式為 ．