Question

【題目】已知拋物線C：y=x2﹣2x+1的頂點為P，與y軸的交點為Q，點F（1， ）．
（1）求點P，Q的坐標；
（2）將拋物線C向上平移得到拋物線C′，點Q平移后的對應點為Q′，且FQ′=OQ′．
①求拋物線C′的解析式；
②若點P關于直線Q′F的對稱點為K，射線FK與拋物線C′相交于點A，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2

∴頂點P（1，0），

∵當x=0時，y=1，

∴Q（0，1）

（2）

解：①設拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+m，

∴Q′（0，m）其中m＞1，

∴OQ′=m，

∵F（1， ），

過F作FH⊥OQ′，如圖：

∴FH=1，Q′H=m﹣ ，

在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣ ）2+1=m2﹣m+ ，

∵FQ′=OQ′，

∴m2﹣m+ =m2，

∴m= ，

∴拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+ ，

②設點A（x0，y0），則y0=x02﹣2x0+ ，

過點A作x軸的垂線，與直線Q′F相交于點N，則可設N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，

連接FP，

∵F（1， ），P（1，0），

∴FP⊥x軸，

∴FP∥AN，

∴∠ANF=∠PFN，

連接PK，則直線Q′F是線段PK的垂直平分線，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，

∴∠ANF=∠AFN，則AF=AN，

根據勾股定理，得，AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2，

∴（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2=（x ﹣2x0+ ）+y ﹣y0=y ，

∴AF=y0，

∴y0=y0﹣n，

∴n=0，

∴N（x0，0），

設直線Q′F的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+ ，

由點N在直線Q′F上，得，0=﹣ x0+ ，

∴x0= ，

將x0= 代入y0=x ﹣2x0+ ，

∴y0= ，

∴A（ ， ）

【解析】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求解析式，線段的垂直平分線的判定和性質，解本題的關鍵是靈活運用勾股定理．（1）令x=0，求出拋物線與y軸的交點，拋物線解析式化為頂點式，求出點P坐標；（2）①設出Q′（0，m），表示出Q′H，根據FQ′=OQ′，用勾股定理建立方程求出m，即可．②根據AF=AN，用勾股定理，（x﹣1）2+（y﹣ ）2=（x2﹣2x+ ）+y2﹣y=y2 ， 求出AF=y，再求出直線Q′F的解析式，即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用線段垂直平分線的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．