Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點，AD⊥AE．

（1）求證：AC2=CDBC；
（2）過E作EG⊥AB，并延長EG至點K，使EK=EB．
①若點H是點D關于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FH⊥GH；
②若∠B=30°，求證：四邊形AKEC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC平分∠BCD，

∴∠DCA=∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，

∴∠DAC=∠EAB．

又∵E是BC的中點，

∴AE=BE，

∴∠EAB=∠ABC，

∴∠DAC=∠ABC，

∴△ACD∽△BCA，

∴ ，

∴AC2=CDBC；

（2）

證明：

①證明：連接AH．

∵∠ADC=∠BAC=90°，點H、D關于AC對稱，

∴AH⊥BC．

∵EG⊥AB，AE=BE，

∴點G是AB的中點，

∴HG=AG，

∴∠GAH=GHA．

∵點F為AC的中點，

∴AF=FH，

∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，

∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB，

∴EK∥AC，

又∵∠B=30°，

∴AC= BC=EB=EC．

又EK=EB，

∴EK=AC，即四邊形AKEC是平行四邊形。

∵EC=EB=EK

∴四邊形AKEC是菱形．

【解析】（1）欲證明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①連接AH．構建直角△AHC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰對等角以及等量代換得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；
②利用“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知四邊形AKEC的四條邊都相等，則四邊形AKEC是菱形．本題考查了四邊形綜合題，需要熟練掌握相似三角形的判定與性質，“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”以及菱形的判定才能解答該題，難度較大．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．