Question

【題目】已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點A，B，（點A在點B的左側），交y軸于點C，其對稱軸為x=1，拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，﹣ ）．

（1）求拋物線l2的函數表達式；
（2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當PA=PC時，求點P的坐標；
（3）M為拋物線l2上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線l1：y=﹣x2+bx+3的對稱軸為x=1，

∴﹣ =1，解得b=2，

∴拋物線l1的解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A點坐標為（﹣1，0），

∵拋物線l2經過點A、E兩點，

∴可設拋物線l2解析式為y=a（x+1）（x﹣5），

又∵拋物線l2交y軸于點D（0，﹣ ），

∴﹣ =﹣5a，解得a= ，

∴y= （x+1）（x﹣5）= x2﹣2x﹣ ，

∴拋物線l2的函數表達式為y= x2﹣2x﹣

（2）解：設P點坐標為（1，y），由（1）可得C點坐標為（0，3），

∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，

∵PC=PA，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，

∴P點坐標為（1，1）

（3）解：由題意可設M（x， x2﹣2x﹣ ），

∵MN∥y軸，

∴N（x，﹣x2+2x+3）， x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3= x2﹣2x﹣ ，可解得x=﹣1或x= ，

①當﹣1＜x≤ 時，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（ x2﹣2x﹣ ）=﹣ x2+4x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，

顯然﹣1＜ ≤ ，∴當x= 時，MN有最大值 ；

②當 ＜x≤5時，MN=（ x2﹣2x﹣ ）﹣（﹣x2+2x+3）= x2﹣4x﹣ = （x﹣ ）2﹣ ，

顯然當x＞ 時，MN隨x的增大而增大，

∴當x=5時，MN有最大值， ×（5﹣ ）2﹣ =12；

綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值為12

【解析】（1）由拋物線l1的對稱軸為x=1，得到b=2，得到拋物線l1的解析式，得到A點坐標為（﹣1，0），由待定系數法求出拋物線l2 的函數表達式；（2）設出P點坐標，由（1）可得C點坐標，由PC=PA，得到P點坐標為（1，1）；（3）由題意可設出M點的坐標，由MN∥y軸，得到N點坐標，得出MN有最大值 ；②當 ＜x≤5時 ，顯然當x＞ 時，MN隨x的增大而增大，所以當x=5時，MN有最大值；綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值為12；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.