Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=1，點P是BC邊上的任意一點（異于端點B、C），連接AP，過B、D兩點作BE⊥AP于點E，DF⊥AP于點F.

（1）求證：EF=DF﹣BE；

（2）若△ADF的周長為，求EF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由正方形的性質得出AD=AB，證出∠DAF=∠ABE，由AAS證明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出結論；
（2）設DF=a，AF=b，EF=DF-AF=a-b>0，由已知條件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a-b即可．

（1）證明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，

∴∠DAF=∠ABE，

在△ADF和△BAE中，∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB，AD=AB，

∴△ADF≌△BAE（AAS），

∴AF=BE，DF=AE，

∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；

（2）解：設DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周長為，AD=1，∴DF+AF=，

即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，

∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣，∴a﹣b=，即EF=.