Question

如圖所示，對稱軸為x=3的拋物線y=ax²+2x與x軸相交于點B，O．
（1）求拋物線的解析式，并求出頂點A的坐標(biāo)；
（2）連接AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過原點O，得到直線l．點P是l上一動點．設(shè)以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)0＜S≤18時，求t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t取最大值時，拋物線上是否存在點Q，使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸方程即可確定a的值，由此可得到拋物線的解析式，通過配方可求出頂點A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，易求得直線AB的解析式，進(jìn)而可確定直線l的解析式，即可表示出P點的坐標(biāo)；由于P點的位置不確定，因此本題要分成兩種情況考慮：
①P點位于第四象限，此時t＞0，四邊形AOPB的面積可由△OAB和△OBP的面積和求得，由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)S的取值范圍即可判斷出t的取值范圍；
②P點位于第二象限，此時t＜0，可分別過A、P作x軸的垂線，設(shè)垂足為N、M；那么四邊形AOPB的面積即可由梯形APMN與△ABN的面積和再減去△OPM的面積求得，由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，可參照①的方法求出t的取值范圍；
結(jié)合上面兩種情況即可得到符合條件的t的取值范圍；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可求出t的最大值，由此可得到P點的坐標(biāo)；若△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，那么有兩種情況需要考慮：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°；
可分別過Q、O作直線l的垂線m、n，由于互相垂直的兩直線斜率的乘積為-1，根據(jù)直線l的解析式以及Q、O的坐標(biāo)，即可求出直線m、n的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點B與O（0，0）關(guān)于x=3對稱，
∴點B坐標(biāo)為（6，0）．
將點B坐標(biāo)代入y=ax²+2x得：
36a+12=0；
∴a=-

1

3

．
∴拋物線解析式為y=-

1

3

x2+2x．（2分）
當(dāng)x=3時，y=-

1

3

×32+2×3=3；
∴頂點A坐標(biāo)為（3，3）．（3分）
（說明：可用對稱軸為x=-

b

2a

，求a值，用頂點式求頂點A坐標(biāo)）

（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴

6k+b=0 3k+b=3

解得

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6．
∵直線l∥AB且過點O，
∴直線l解析式為y=-x．
∵點P是l上一動點且橫坐標(biāo)為t，
∴點P坐標(biāo)為（t，-t）．（4分）
當(dāng)P在第四象限時（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=

1

2

×6×3+

1

2

×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．（5分）
當(dāng)P在第二象限時（t＜0），
作PM⊥x軸于M，設(shè)對稱軸與x軸交點為N，
則S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=

1

2

[3+(-t)]•(3-t)+

1

2

×3×3-

1

2

(-t)(-t)
=

1

2

(t-3)2+

9

2

-

1

2

t2
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0；（6分）
∴t的取值范圍是-3≤t＜0或0＜t≤3．

（3）存在，點Q坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．（9分）
由（2）知t的最大值為3，則P（3，-3）；
過O、P作直線m、n垂直于直線l；
∵直線l的解析式為y=-x，
∴直線m的解析式為y=x；
可設(shè)直線n的解析式為y=x+h，則有：
3+h=-3，h=-6；
∴直線n：y=x-6；
聯(lián)立直線m與拋物線的解析式有：

y=x y=- 1 3 x2+2x

，
解得

x=0 y=0

，

x=3 y=3

；
∴Q₁（3，3）；
同理可聯(lián)立直線n與拋物線的解析式，求得Q₂（6，0），Q₃（-3，-9）．
（說明：點Q坐標(biāo)答對一個給1分）

點評：此題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點及圖形面積的求法等重要知識點，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．