Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的任意兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)，給出如下定義：

將|x1﹣x2|稱為點M，N之間的“橫長”，|y1﹣y2|稱為點M，N之間的縱長”，點M與點N的“橫長”與“縱長”之和稱為“折線距離”，記作d(M，N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|“．

例如：若點M(﹣1，1)，點N(2，﹣2)，則點M與點N的“折線距離”為：d(M，N)=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=6．

根據以上定義，解決下列問題：

已知點P(3，2)．

（1）若點A(a，2)，且d(P，A)=5，求a的值；

（2）已知點B(b，b)，且d(P，B)＜3，直接寫出b的取值范圍；

（3）若第一象限內的點T與點P的“橫長”與“縱長”相等，且d(P，T)＞5，簡要分析點T的橫坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=﹣2或a=8；（2）1＜b＜4；（3）t或0＜t．

【解析】

（1）將點P與點A代入d（M，N）＝|x1x2|＋|y1y2|即可求解；

（2）將點B與點P代入d（M，N）＝|x1x2|＋|y1y2|，得到d（P，B）＝|3b|＋|2b|，分三種情況去掉絕對值符號進行化簡，有當b＜2 時，d（P，B）＝3b＋2b＝52b＜3；當2≤b≤3時，d（P，B）＝3b＋b2＝1＜3；當b＞3時，d（P，B）＝b3＋b2＝2b5＜3；

（3）設T點的坐標為（t，m），由點T與點P的“橫長”與“縱長”相等，得到|t3|＝|m2|，得到t與m的關系式，再由T在第一象限，d（P，T）＞5，結合求解即可．

（1）∵點P(3，2)，點A(a，2)，

∴d(P，A)=|3﹣a|+|2﹣2|=5，

∴a=﹣2或a=8；

（2）∵點P(3，2)，點B(b，b)，

∴d(P，B)=|3﹣b|+|2﹣b|，

當b＜2 時，d(P，B)=3﹣b+2﹣b=5﹣2b＜3，

∴b＞1，∴1＜b＜2；

當2≤b≤3時，d(P，B)=3﹣b+b﹣2=1＜3成立，

∴2≤b≤3；

當b＞3時，d(P，B)=b﹣3+b﹣2=2b﹣5＜3，

∴b＜4，∴3＜b＜4；

綜上所述：1＜b＜4；

（3）設T點的坐標為(t，m)，

點T與點P的“橫長”=|t﹣3|，

點T與點P的“縱長”=|m﹣2|．

∵點T與點P的“橫長”與“縱長”相等，

∴|t﹣3|=|m﹣2|，

∴t﹣3=m﹣2或t﹣3=2﹣m，

∴m=t﹣1或m=5﹣t．

∵點T是第一象限內的點，

∴m＞0，

∴t＞1或t＜5，

又∵d(P，T)＞5，

∴2|t﹣3|＞5，

∴t或t，

∴t或0＜t．