Question

【題目】如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD,使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為（m,0），其中m＞0.

（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；（5分）

（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）

（3）如圖（2），設拋物線y=a(x－m－6)2+h經過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分）

Answer 1

【答案】（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°

由折疊對稱性：AF＝AD＝10，FE＝DE

∴FC＝4……………………………………2分

設EF＝x，則EC＝8－x

在Rt△ECF中，42＋(8－x)2＝x2解得x＝5

∴CE＝8－x＝5

∵B (m，0) ∴E (m＋10，3)，F (m＋6，0)……………………………………5分

（2）分三種情形討論：

若AO＝AF，∵AB⊥OF ∴OB＝BF＝6，∴m＝6…………………………………7分

若OF＝AF，則m＋6＝10 解得m＝4

若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2＋AB2＝m2＋64

說明：求對一個m值得2分，求對二個m值得3分，求對三個m值得4分

（3）由（1）知A (m，8)，E (m＋10，3)，

∴M (m＋6，－1)

設對稱軸交AD于G

∴G (m＋6，8) ∴AG＝6，GM＝8―(―1)＝9

∵∠OAB＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠MAG＝90°，

∴∠OAB＝∠MAG

又∠ABO＝∠MGA＝90°，

∴△AOB∽△AMG

∴m＝12…………………………………14分

【解析】略