Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD、BD的長分別是關于x的方程＝0的兩個實數根．

（1）求m的值；

（2）連接CD，試探索：AC、BC、CD三者之間的等量關系，并說明理由；

（3）若CD＝，求AC、BC的長．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）AC＋BC＝CD；(3) AC＝6，BC＝8或AC＝8，BC＝6．

【解析】試題分析:(1)根據一元二次方程有兩個實數根可得: ≥0,解得≤0,因為≥0,所以＝5,

(2)把(1) ＝5代入方程得, ,所以AD=BD, 將△ADC繞點D逆時針旋轉90°后得△BDE,根據圓內接四邊形對角互補可得: ∠DAC＋∠DBC＝180°,所以∠DBE＋∠DBC＝180°,可證△CDE為等腰直角三角形,所以AC＋BC＝CE=CD,

(3) 由(2)得,AC＋BC＝CD＝ 7＝14,由勾股定理可得: AC2＋BC2＝102＝100,

聯立可解得: AC＝6,BC＝8或AC＝8，BC＝6.

試題解析:（1）由題意,得　b2－4ac≥0,

∴≥0,

化簡整理得,　 ≥0,

∴≤0，即≤0,

又∵≥0,

∴＝5,

（2）AC＋BC＝CD,

理由是:如圖,由(1)得,　當m＝5時, ,

∴ AD＝BD,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB＝∠ADB＝90°,

將△ADC繞點D逆時針旋轉90°后得△BDE,

∴△ADC≌△BDE,

∴∠DAC＝∠DBE,

∵∠DAC＋∠DBC＝180°,

∴∠DBE＋∠DBC＝180°,

∴點C,B,E三點共線,

∴△CDE為等腰直角三角形,

∴CE＝CD,

即AC＋BC＝CD,

(3)由(1)得,當m＝5時,b2－4ac,

∴ AD＝BD＝5,

∵∠ACB＝∠ADB＝90°,

∴AB＝10,

∴AC2＋BC2＝102＝100①,

由(2)得,AC＋BC＝CD＝ 7＝14②,

由①②解得AC＝6,BC＝8或AC＝8,BC＝6.