Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點，點D是拋物線上橫坐標為6的點．點P在這條拋物線上，且不與A、D兩點重合，過點P作y軸的平行線與射線AD交于點Q，過點Q作QF垂直于y軸，點F在點Q的右側，且QF=2，以QF、QP為鄰邊作矩形QPEF．設矩形QPEF的周長為d，點P的橫坐標為m．

（1）求這條拋物線所對應的函數表達式．
（2）求這條拋物線的對稱軸將矩形QPEF的面積分為1：2兩部分時m的值．
（3）求d與m之間的函數關系式及d隨m的增大而減小時d的取值范圍．
（4）當矩形QPEF的對角線互相垂直時，直接寫出其對稱中心的橫坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，0）、B（5，0）代入y=ax2+bx+5，

，

解得 ，

∴y=x2﹣6x+5

（2）

解：如圖所示：∵拋物線y=x2﹣6x+5的對稱軸為：x=﹣ =﹣ =3，

∵這條拋物線的對稱軸將矩形QPEF的面積分為1：2兩部分，

可得PN=3﹣m，PE=2，

∴ = 或 = ，

解得：m= 或m=

（3）

解：當x=6時，y=x2﹣6x+5=62﹣6×6+5=5，

∴點D的坐標為（6，5）．

射線AD所對應的函數表達式為y=x﹣1（x＞1）．

∴P（m，m2﹣6m+5），Q（m，m﹣1）．

當1＜m＜6時，d=2（﹣m2+7m﹣6+2）=﹣2m2+14m﹣8，

當m＞6時，d=2（m2﹣7m+6+2）=2m2﹣14m+16，

又d=﹣2m2+14m﹣8=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∴d隨m的增大而減小時d的取值范圍是4＜d≤

（4）

解：當矩形QPEF的對角線互相垂直時，則矩形QPEF是正方形，邊長為2，

當1＜m＜6時，m﹣1﹣（m2﹣6m+5）=2，

整理得：m2﹣7m+8=0，

解得：m1= ，m2= ，

當m＞6時，m2﹣6m+5﹣（m﹣1）=2，

整理得：m2﹣7m+4=0，

解得：m3= ，m4= （舍去），

故其對稱中心的橫坐標為： +1= ， +1= ， +1=

【解析】（1）直接利用待定系數法求出二次函數解析式即可；（2）首先求出函數對稱軸進而得出m的值；（3）分別利用當1＜m＜6時，d=2（﹣m2+7m﹣6+2），當m＞6時，d=2（m2﹣7m+6+2）求出d的取值范圍即可；（4）當矩形QPEF的對角線互相垂直時，則矩形QPEF是正方形，邊長為2，進而得出m的值求出答案．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．