Question

已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝．E為矩形外一點，且△EBA∽△ABD．

（1）求AE和BE的長；

（2）若將△ABE沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）．當點E分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值；

（3）如圖②，將△ABE繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ABE為△A′BE′，在旋轉過程中，設A′E′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）AE＝4，BE＝3……………………………………………………(2分)

（2）點E在AB上時，m＝3；點E在AD上時，m＝………………………………(4分)

（3）存在．理由如下：在旋轉過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如圖3﹣1所示，點Q落在BD延長線上，且PD＝DQ，求得DQ＝3－ ；…(6分)

②如圖3﹣2所示，點Q落在BD上，且PQ＝DQ，求得DQ＝；…………………(8分)

 

③如圖3﹣3所示，點Q落在BD上，且PD＝DQ，求得DQ＝－；…………(10分)

④如圖3﹣4所示，點Q落在BD上，且PQ＝PD，求得DQ＝．…………………(12分)

 

綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使△DPQ為等腰三角形：

DQ的長度分別為3－、、－或.