Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=30°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）y=x+2（0＜x＜2）（3）當△ADE是等腰三角形時，AE=4﹣2或．

【解析】

試題分析：（1）根據兩角相等證明：△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，作高AF，根據直角三角形30°的性質求AF的長，根據勾股定理求BF的長，則可得BC的長，根據（1）中的相似列比例式可得函數關系式，并確定取值；

（3）分三種情況進行討論：①當AD=DE時；②當AE=ED時；③當AD=AE時，討論即可得到答案.

試題解析：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

過A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB=90°，

∵AB=2，∠ABF=30°，

∴AF=AB=1，

∴BF=，

∴BC=2BF=2，

則DC=2﹣x，EC=2﹣y，

∵△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

化簡得：y=x+2（0＜x＜2）；

（3）當AD=DE時，如圖2，

由（1）可知：此時△ABD∽△DCE，

則AB=CD，即2=2﹣x，

x=2﹣2，代入y=x+2，

解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，

當AE=ED時，如圖3，

∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

則ED=EC，即y=（2﹣y），

解得：y=，即AE=，

當AD=AE時，

∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此時點D與點B重合，不符合題意，此情況不存在，

∴當△ADE是等腰三角形時，AE=4﹣2或．