Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P、Q分別從A、B兩點出發，按逆時針方向沿矩形的邊運動，點P的速度是每秒2個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度，運動的時間為t秒，當其中某一點到達點A時，運動停止，運動過程中，點P關于直線AQ的對稱點記為點M．

（1）點P點在線段AB上運動，點Q在線段BC上運動時，請用含t的式子表示出△APQ的面積S；

（2）當點P在線段BC上運動，且△ABP∽△PCQ時，求t的值；

（3）若點Q在線段CD上，且以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）S＝t2 （2） （3）當t＝1＋時，以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形

【解析】試題分析：（1）底AP=2t，高BQ=t，根據三角形性的的面積公式求解即可；

（2）根據相似三角形的性質列方程求解；

（3）分四種情況，①點P在BC上，點Q在CD上，此時不合題意；②點P和點Q都在CD上，P在Q的左邊，此時不合題意；③點P和點Q都在CD上，P在Q的又邊，根據勾股定理列方程求解；④點P在AD上，點Q在CD上，根據勾股定理列方程求解.

解：（1）AP=2t，BQ=t，∴S＝t2.

（2）如圖1，由△ABP∽△PCQ可知，此時點Q在線段CD上，∴，

即，

∴，解得，

∵，∴.

（3）①當3＜t≤時，如圖2，以A、P、Q、M為頂點的四邊形不可能是菱形；

②當＜t≤4時，如圖3，以A、P、Q、M為頂點的四邊形不可能是菱形；

③當4＜t≤時，如圖4，若PA＝PQ，則以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形，即32＋(11－2t)2＝(2t－t－4)2，整理得t2－12t＋38＝0，方程無解；

④當＜t≤7時，如圖5，若PA＝PQ，則以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形，即(2t－11)2＋(7－t)2＝(14－2t)2，解得t＝1±，

∵＜t≤7，∴t＝1＋.

∴當t＝1＋時，以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形.