Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2﹣4x+c經過點A（2，0）．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）若點B（m，n）是拋物線上的一動點，點B關于原點的對稱點為C．

①若B、C都在拋物線上，求m的值；

②若點C在第四象限，當AC2的值最小時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x+12，頂點坐標為（﹣2，16）；（2）①m=2或m=﹣2；②m的值為 ．

【解析】（1）把點A（2，0）代入拋物線y=﹣x2﹣4x+c中求得c的值，即可得拋物線的解析式，根據拋物線的解析式求得拋物線的頂點坐標即可；（2）①由B（m，n）在拋物線上可得﹣m2﹣4m+12=n，再由點B關于原點的對稱點為C，可得點C的坐標為（﹣m，﹣n），又因C落在拋物線上，可得﹣m2+4m+12=﹣n，即m2﹣4m﹣12=n，所以﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12，解方程求得m的值即可；②已知點C（﹣m，﹣n）在第四象限，可得﹣m＞0，﹣n＜0，即m＜0，n＞0，再由拋物線頂點坐標為（﹣2，16），即可得0＜n≤16，因為點B在拋物線上，所以﹣m2﹣4m+12=n，可得m2+4m=﹣n+12，由A（2，0），C（﹣m，﹣n），可得AC2=（﹣m﹣2）2+（﹣n）2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=（n﹣）2+，所以當n=時，AC2有最小值，即﹣m2﹣4m+12=，解方程求得m的值，再由m＜0即可確定m的值．

（1）∵拋物線y=﹣x2﹣4x+c經過點A（2，0），

∴﹣4﹣8+c=0，即c=12，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x+12=﹣（x+2）2+16，

則頂點坐標為（﹣2，16）；

（2）①由B（m，n）在拋物線上可得：﹣m2﹣4m+12=n，

∵點B關于原點的對稱點為C，

∴C（﹣m，﹣n），

∵C落在拋物線上，

∴﹣m2+4m+12=﹣n，即m2﹣4m﹣12=n，

解得：﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12，

解得：m=2或m=﹣2；

②∵點C（﹣m，﹣n）在第四象限，

∴﹣m＞0，﹣n＜0，即m＜0，n＞0，

∵拋物線頂點坐標為（﹣2，16），

∴0＜n≤16，

∵點B在拋物線上，

∴﹣m2﹣4m+12=n，

∴m2+4m=﹣n+12，

∵A（2，0），C（﹣m，﹣n），

∴AC2=（﹣m﹣2）2+（﹣n）2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=（n﹣）2+，

當n=時，AC2有最小值，

∴﹣m2﹣4m+12=，

解得：m=，

∵m＜0，∴m=不合題意，舍去，

則m的值為．