Question

【題目】如圖1所示，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為直角邊，A為直角頂點，在AD左側作等腰直角三角形ADF，連接CF，AB=AC，∠BAC=90°．

（1）當點D在線段BC上時（不與點B重合），線段CF和BD的數量關系與位置關系分別是什么？請給予證明．

（2）當點D在線段BC的延長線上時，（1）的結論是否仍然成立？請在圖2中畫出相應的圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CF=BD，且CF⊥BD，證明見解析；（2）（1）的結論仍然成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD；

（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；

解：（1）CF=BD，且CF⊥BD，證明如下：

∵∠FAD=∠CAB=90°，

∴∠FAC=∠DAB．

在△ACF和△ABD中，

，

∴△ACF≌△ABD

∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，

∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，

∴FC⊥CB，

故CF=BD，且CF⊥BD．

（2）（1）的結論仍然成立，如圖2，

∵∠CAB=∠DAF=90°，

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中，

，

∴△ACF≌△ABD，

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD；

∴CF=BD，且CF⊥BD．