Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為邊AD的中點，過點C作AB的垂線交AB于點E，連接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．

（1）求平行四邊形ABCD的面積S；

（2）求證：∠EMC＝2∠AEM．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析.

【解析】

(1)由AM＝2AE＝4，利用平行四邊形的性質可求出BC=AD=8，利用直角三角形的性質得出BE、CE的長,進而得出答案;

(2) 延長EM，CD交于點N，連接CM．通過證明△AEM≌△DNM，可得EM＝MN，然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可證MN＝MC，然后根據三角形外角的性質證明即可.

（1）解：∵M為AD的中點，AM＝2AE＝4，

∴AD＝2AM＝8．在ABCD的面積中，BC＝CD＝8，

又∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∵∠BCE＝30°，

∴BE＝BC＝4，

∴AB＝6，CE＝4，

∴ABCD的面積為：AB×CE＝6×4＝24；

（2）證明：延長EM，CD交于點N，連接CM．

∵在ABCD中，AB∥CD，

∴∠AEM＝∠N，

在△AEM和△DNM中

∵∠AEM=∠N，

AM=DM，

∠AME=∠DMN，

∴△AEM≌△DNM（ASA），

∴EM＝MN，

又∵AB∥CD，CE⊥AB，

∴CE⊥CD，

∴CM是Rt△ECN斜邊的中線，

∴MN＝MC，

∴∠N＝∠MCN，

∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．