Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+4分別交x軸，y軸于點A，C，點D（m，2）在直線AC上，點B在x軸正半軸上，且OB=3OC．點E是y軸上任意一點記點E為（0，n）．

（1）求點D的坐標及直線BC的解析式；
（2）連結DE，將線段DE繞點D按順時針旋轉90°得線段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的頂點F落在△ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條件的n的值；若不存在，說明理由．
（3）作點E關于AC的對稱點E’，當n為何值時，A E’分別于AC，BC，AB垂直？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由直線y=2x+4，

當x=0時，y=4，則C（0,4）；

當y=0時，x=-2,則A（-2,0）；

∵D（m,2）在直線y=2x+4上，則2x+4=2，即D（-1,2）；

∵C（0，4），OB=3OC．

∴OB=3×4=12，

則B（12,0）.

設BC的解析式為y=kx+b，

則

解得

則直線BC的解析式為y=x+4.

（2）

解：過點D作y軸的垂線DM交y軸于點M，過點F作y軸的垂線FN交y軸于點N，

則∠DME=∠FNE=90°，∠DEM+∠EDM=90°，

在正方形DEFG中，

則DE=EF，∠DEF=90°，

∴∠DEM+∠FEN=90°，

∴∠EDM=∠FEN，

∴△DME≌△ENF,

∴FN=EM=|n-2|，EN=DM=1，

則ON=OE-EN=|n-1|，

則F（|n-2|，|n-1|）

當點F在BC上時，F（n-2,n-1），將它代入直線BC的解析式y=x+4，

得(n-2)+4=n-1，解得n=；

當點F在AB上時，即n-1=0，則n=1；

綜上n=或1.

（3）

解：①當AE’⊥AC時，A，E，E'三點共線，如圖2，則AE⊥AC，

易證得△ACE~△OCA，

則

由AC===2.

則CE==5，

即n=4-5=-1.

②當AE’⊥AB時，設EE'與AC的交點為P，如圖3，可得△AE'P≌△CEP，

則AE=AE'=CE=4-n，

在Rt△AEO中，則AE2=AO2+OE2，

即（4-n）2=22+n2，

解得n=

③如圖3，當AE'與BC垂直時，直線AE’與BC的延長線交于點M，與y軸交于點Q，

則tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，

所以OQ=3OA=6，則Q（0,6），

由A（-2,0）和Q（0,6）得直線AQ的解析式為y=3x+6.

因為直線AC的解析式為y=2x+4，AC與EE'垂直，

所以可設EE'的解析式為y=-x+c，

將E（0，n）代入可解得y=-x+n.

聯立

解得

即E'（,)，

則EE'的中點P的坐標為（，），

因為點P在直線AC上，代入y=2x+4可得

+4=，

解得n=.

綜上n=-1，或.

；

解：①當AE’⊥AC時，A，E，E'三點共線，如圖2，則AE⊥AC，

易證得△ACE~△OCA，

則

由AC===2.

則CE==5，

即n=4-5=-1.

②當AE’⊥AB時，設EE'與AC的交點為P，如圖3，可得△AE'P≌△CEP，

則AE=AE'=CE=4-n，

在Rt△AEO中，則AE2=AO2+OE2，

即（4-n）2=22+n2，

解得n=

③如圖3，當AE'與BC垂直時，直線AE’與BC的延長線交于點M，與y軸交于點Q，

則tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，

所以OQ=3OA=6，則Q（0,6），

由A（-2,0）和Q（0,6）得直線AQ的解析式為y=3x+6.

因為直線AC的解析式為y=2x+4，AC與EE'垂直，

所以可設EE'的解析式為y=-x+c，

將E（0，n）代入可解得y=-x+n.

聯立

解得

即E'（,)，

則EE'的中點P的坐標為（，），

因為點P在直線AC上，代入y=2x+4可得

+4=，

解得n=.

綜上n=-1，或.

；

解：①當AE’⊥AC時，A，E，E'三點共線，如圖2，則AE⊥AC，

易證得△ACE~△OCA，

則

由AC===2.

則CE==5，

即n=4-5=-1.

②當AE’⊥AB時，設EE'與AC的交點為P，如圖3，可得△AE'P≌△CEP，

則AE=AE'=CE=4-n，

在Rt△AEO中，則AE2=AO2+OE2，

即（4-n）2=22+n2，

解得n=

③如圖3，當AE'與BC垂直時，直線AE’與BC的延長線交于點M，與y軸交于點Q，

則tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，

所以OQ=3OA=6，則Q（0,6），

由A（-2,0）和Q（0,6）得直線AQ的解析式為y=3x+6.

因為直線AC的解析式為y=2x+4，AC與EE'垂直，

所以可設EE'的解析式為y=-x+c，

將E（0，n）代入可解得y=-x+n.

聯立

解得

即E'（,)，

則EE'的中點P的坐標為（，），

因為點P在直線AC上，代入y=2x+4可得

+4=，

解得n=.

綜上n=-1，或.

【解析】（1）將點D（m,2）代入直線AC的解析式可求出m；由直線AC的解析式可得點C的坐標，由OB=3OC，求出點B的坐標，運用待定系數法求BC的解析式；
（2）由正方形的性質構造全等三角形，用n表示出點F的坐標，再分類討論點F在BC上和在AB上時n的值；
（3）分三種情況討論：EE'⊥AC，EE'⊥AB，EE'⊥BC.