Question

【題目】已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2b= asinB+bcosA，c=4． （Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若D是BC的中點，AD= ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵2b= asinB+bcosA，可得：2sinB= sinAsinB+sinBcosA， ∴由于sinB≠0，可得：2= sinA+cosA，
∴sin（A+ ）=1，
∵A∈（0，π），可得：A+ ∈（ ， ），
∴A+ = ，解得：A=
（Ⅱ）設BD=CD=x，則BC=2x，
由于cosA= = ，可得：4x2=b2﹣4b+16，
∵∠ADB=180°﹣∠ADC，
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，…8分
∵ + =0，可得：2x2=b2+2，
∴聯立①②可得：b2+4b﹣12=0，解得：b=2
∴S△ABC= bcsinA= =2
【解析】（Ⅰ）由正弦定理化簡已知等式可得2= sinA+cosA，利用兩角和的正弦函數公式可得sin（A+ ）=1，結合A的范圍，利用正弦函數的圖象可求A的值．（Ⅱ）設BD=CD=x，則BC=2x，由余弦定理可求4x2=b2﹣4b+16，又由cos∠ADB+cos∠ADC=0，利用余弦定理可得2x2=b2+2，聯立可得b的值，根據三角形面積公式即可計算得解．
【考點精析】關于本題考查的正弦定理的定義，需要了解正弦定理:才能得出正確答案．