Question

【題目】如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE＝∠C．

（1）求證：AE與⊙O相切于點A；

（2）若AE∥BC，BC＝8，AB＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）連接OA，根據圓周角定理、等腰三角形的性質和已知，求出∠DAO＝∠BAE，∠DAB＝90°，求出OAE＝90，根據切線的判定得出即可；

（2）根據垂徑定理求出BF，根據勾股定理求出AF，再根據勾股定理求出OB即可．

（1）連接OA交BC于點F，

∵OA＝OD，

∴∠D＝∠DAO，

∵由圓周角定理得：∠D＝∠C，

∴∠C＝∠DAO，

又∵∠C＝∠BAE，

∴∠DAO＝∠BAE，

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠DAB＝∠DAO+∠OAB＝90°，

∴∠OAB+∠BAE＝90°，即OA⊥AE，

∵OA是半徑，

∴AE與⊙O相切于點A；

（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，

∴OA⊥BC，

∴FB＝BC＝×8＝4，

∴在Rt△ABF中，AF＝ ＝＝2，

∵在Rt△OFB中，OB2＝BF2+OF2，

∴OB2＝42+（0B﹣2）2，

∴OB＝5，

∴⊙O的半徑為5．