Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，動點D從點A出發以每秒3個單位的速度運動至點B，過點D作DE⊥AB交射線AC于點E．設點D的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）線段AE的長為　 　．（用含t的代數式表示）

（2）若△ADE與△ACB的面積比為1：4時，求t的值．

（3）設△ADE與△ACB重疊部分圖形的周長為L，求L與t之間的函數關系式．

（4）當直線DE把△ACB分成的兩部分圖形中有一個是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）5t；（2）；（3）當時，L=12t，當時， ；（4）或1．

【解析】【試題分析】（1）利用三角函數求解；（2）根據△ADE與△ACB的面積比為1：4列出方程求解；（3）按照和兩種情況討論； （4）當DE=CE時，四邊形BCED是軸對稱圖形，和當DE和BC相交于F，AD=AC時，四邊形ACFE是軸對稱圖形兩種情形討論.

【試題解析】

（1）在Rt△ABC中，tanA==

由題意得，AD=3t，

在Rt△ADE中，tanA===，

根據勾股定理得，AE=5t．

故答案為5t；

（2）方法一：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∴．

∵AD=3t，AC=3，BC=4，

∴DE=4t．

∴．

∵，

∵，

∴．

∴（舍）

∴t的值為．

方法二：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．

∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵，

∴．

∵AC=3，AD=3t，

∴2×3t=3，t=．

（3）由（2）得：△ABC∽△AED，

∴．

∵AD=3t，

∴DE=4t，AE=5t．BD=5﹣3t，

∴當時，L=3t+4t+5t=12t．

∴L=12t．

當時，如圖，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴．

∵BD=5﹣3t，

∴．

∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，

∴∠B=∠E，

∵∠FCE=∠BCA

∴△BCA∽△ECF，

∴．

∵CE=5t﹣3，

∴．

．

∴．

（4）由（1）知，AE=5t，DE=4t，

∴CE=3﹣5t，

當DE=CE時，四邊形BCED是軸對稱圖形，

∴4t=3﹣5t，

∴t=，

當DE和BC相交于F，AD=AC時，四邊形ACFE是軸對稱圖形，

∵AD=3t，AC=3，

∴3t=3，

∴t=1．

即：滿足條件的時間t為或1．