Question

【題目】如圖，已知直線和雙曲線（k為正整數）交于A，B兩點．

（1）當k=1時，求A、B兩點的坐標；

（2）當k=2時，求△AOB的面積；

（3）當k=1時，△OAB的面積記為S1，當k=2時，△OAB的面積記為S2，…，依此類推，當k=n時，△OAB的面積記為Sn，若S1+S2+…+Sn=，求n的值．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】試題分析：（1）由k=1得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點的坐標；（2）先由k=2得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點的坐標；再求出直線AB的解析式，得到直線AB與y軸的交點（0，2），利用三角形的面積公式，即可解答．（3）根據當k=1時，S1=×1×（1+2）=，當k=2時，S2=×2×（1+3）=4，…得到當k=n時，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根據若S1+S2+…+Sn=，列出等式，即可解答．

試題解析：（1）當k=1時,直線y=x+k和雙曲線化為：y=x+1和y= ，

解得， ，

∴A(1,2),B(2,1)，

(2)當k=2時,直線y=x+k和雙曲線化為：y=x+2和y=，

解得， ，

∴A(1,3),B(3,1)

設直線AB的解析式為：y=mx+n，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為：y=x+2

∴直線AB與y軸的交點(0,2)，

∴S△AOB=×2×1+×2×3=4；

(3)當k=1時,S1=×1×(1+2)= ，

當k=2時,S2=×2×(1+3)=4，

…

當k=n時,Sn=n(1+n+1)= n2+n，

∵S1+S2+…+Sn=，

∴×(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…n)= ，

整理得： ×n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=，

解得：n=6.