Question

【題目】如圖，已知E、F分別為平行四邊形ABCD的對邊AD、BC上的點，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于點O，

求證：
（1）EM=FN；
（2）EF與MN互相平分．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAM=∠FCN，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，

在△AEM和△CFN中， ，

∴△AEM≌△CFN（AAS），

∴EM=FN

（2）證明：連接EN、FM，如圖所示：

∵EM⊥AC，FN⊥AC，

∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，

∴EM∥FN，

又∵由（1）得EM=FN，

∴四邊形EMFN是平行四邊形，

∴EF與MN互相平分．

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，，進而得出∠EAM=∠FCN，根據等式的性質及垂直的定義知AE=CF，∠AME=∠CNF=90°，用AAS判斷出△AEM≌△CFN，根據三角形全等的性質得出結論；
（2）連接EN、FM根據垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出EM∥FN，又EM=FN，利用平行四邊形的判定方法判斷出四邊形EMFN是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得出結論。