Question

如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB ≠ CD，BD = AC．

（1）求證：AD = BC；

（2）若E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分．

 

Answer 1

證明：（1）做BM∥AC，BM交DC的延長線于點(diǎn)M，則∠ACD =∠BMD    …………1分

∵AB∥CD   BM∥AC 

∴四邊形ABMC為平行四邊形          …………………………………………………2分

∴AC = BM   

∵BD = AC    

∴BM = BD    

∴∠BDM = ∠BMD

∴∠BDC = ∠ACD

在△BDC和△ACD中

∴△BDC ≌ △ACD                ………………………………………………………4分

∴BC = AD    ……………………………………………………………………………5分

（2）連接EG、GF、FH、HE          …………………………………………………6分

∵E、H為AB、BD的中點(diǎn)     ∴

同理，，

∵BC = AD   ∴EG = FG = FH = EH      …………………………………………………8分

∴四邊形EGFH為菱形

∴EF與GH互相垂直平分 ………………………………………………………………9分