Question

【題目】（問題情境）

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

（1）如圖①，中，，若，點是斜邊上一動點，求線段的最小值．

在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：

根據直線外一點和直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，得到：

當時，線段取得最小值．請你根據小明的思路求出這個最小值．

（思維運用）

（2）如圖，在中，，，為斜邊上一動點，過作于點，過作于點，求線段的最小值．

（問題拓展）

（3）如圖，，線段上的一個動點，分別以為邊在的同側作菱形和菱形，點在一條直線上．，分別是對角線的中點，當點在線段上移動時，點之間的距離的最小值為_____．（直接寫出結果，不需要寫過程）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用三角形的面積相等即可求解；

（2）連接CM，先證明四邊形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面積關系求出CM的最小值，即可得出結果．

（3）連接PM、PN．首先證明∠MPN=90°，設PA=2a，則PB=6-2a，PM=a，PN=(3-a)，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；

解：（1）如圖，當時，線段取得最小值．

∵中，，，

∴AB=,

∵,

∴,

∴，

故CM的最小值為.

（2）連接CM，如圖所示：

∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC=∠MEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形CDME是矩形，
∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=

當CM⊥AB時，CM最短，

∵

∴,

∴

∴線段DE的最小值為；
故答案為：．

（3）連接PM、PN．
∵四邊形APCD，四邊形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N分別是對角線AC，BE的中點，
∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，
∴∠MPN=60°+30°=90°，
設PA=2a，則PB=6-2a，PM=a，PN=(3-a)，

,

∴a=時，點M，N之間的距離最短，最短距離為，
故答案為：．