Question

【題目】如圖1所示，有一張三角形紙片ABC，已知∠ACB=90°,AC=24,BC=10,AB=26,點D為AB邊上一點，聯結CD，AD=CD=DB，沿CD把這張紙片剪成△和△兩個三角形如圖2所示，將紙片△沿直線方向平移（點A、始終都在同一直線上），與交于點E、與、分別交于點E、F。

（1）在△A平移過程中，求證：

（2）當△A平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的數量關系，并予以證明。

（3）設平移距離為x，在平移過程中，AP=AB，PB=AB，請求出△APB的面積等于原△ABC面積一半時的x值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）D1E＝D2F，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據平移的性質可得AC∥AC1，然后結合∠ACB=90°可證得結論；

（2）根據平行線的性質和等邊對等角可得∠AFD2＝∠A，然后可得AD2＝D2F，同理求出BD1＝D1E，然后利用線段和差證明AD2＝BD1即可得到D1E＝D2F；

（3）根據平移距離為x可得AB＝26-x，然后表示出AP，PB，根據△APB的面積等于原△ABC面積一半列出方程并求解，舍去不合題意的值即可得出結果.

解：（1）根據平移的性質可得AC∥AC1，

∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，

∴AC1⊥BC，即；

（2）D1E＝D2F；

證明：∵C1D1∥C2D2，

∴∠C1＝∠AFD2，

又∵AD=CD=DB，即C1D1＝C2D2＝BD2＝AD1，

∴∠C1＝∠A，

∴∠AFD2＝∠A，

∴AD2＝D2F，

同理：BD1＝D1E，

又∵AD1＝BD2，

∴AD2＝BD1，

∴D1E＝D2F；

（3）∵平移距離為x，

∴AB＝26-x，

∴AP=AB=，PB=AB=，

由題意得：，

整理得：，

解得：（舍去），，

∴△APB的面積等于原△ABC面積一半時的x值為.