Question

【題目】如圖，已知AB經過圓心O ，交⊙O于點C．

（1）尺規作圖：在AB上方的圓弧上找一點D，使得△ABD是以AB為底邊的等腰三角形（保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若∠DAB=30°，求證：直線BD與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）作線段AB的垂直一部分線，交AB上方的圓弧上于點D，連接AD，BD，等腰三角形ABD即為所求作；

（2）由等腰三角形的性質可求出∠B=30゜，連接OD，利用三角形外角的性質得∠DOB=60゜，再由三角形內角和求得∠ODB=90゜,從而可證得結論．

（1）如圖所示；

（2）∵△ABD是等腰三角形，且∠DAB=30°，

∴∠DBA=30゜，

連接OD，

∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=30゜

∴∠DOB=∠ODA+∠OAD=60゜

在△ODB中，∠DOB+∠ODB+∠DBO=180゜

∴∠ODB=180゜-∠DOB-∠DBO=90゜，即

∴直線BD與⊙O相切．