Question

【題目】已知拋物線的頂點在第一象限，過點作軸于點，是線段上一點（不與點、重合），過點作軸于點，并交拋物線于點．

（1）求拋物線頂點的縱坐標隨橫坐標變化的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍；

（2）若直線交軸的正半軸于點，且，求的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)解析式為y=x+4（x＞0）；（2）0≤S≤．

【解析】

（1）拋物線解析式為y=-x2+2mx-m2+m+4，設(shè)頂點的坐標為（x，y），利用拋物線頂點坐標公式得到x=m，y=m-4，然后消去m得到y與x的關(guān)系式即可．

（2）如圖，根據(jù)已知得出OE=4-2m，E（0，2m-4），設(shè)直線AE的解析式為y=kx+2m-4，代入A的坐標根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后聯(lián)立方程求得交點P的坐標，根據(jù)三角形面積公式表示出S=（4-2m）（m-2）=-m2+3m-2=-（m-）2+，即可得出S的取值范圍．

（1）由拋物線y=-x2+2mx-m2+m+4可知，a=-1，b=2m，c=-m2+m+4，

設(shè)頂點的坐標為（x，y），

∴x=-=m，

∵b=2m，

y==m+4=x+4，

即頂點的縱坐標隨橫坐標變化的函數(shù)解析式為y=x+4（x＞0）；

（2）如圖，由拋物線y=-x2+2mx-m2+m+4可知頂點A（m，m+4），

∵軸

∴軸

∴△ACP∽△ABE，

∴

∵

∴，

∵AB=m，

∴BE=2m，

∵OB=4+m，

∴OE=4+m-2m=4-m，

∴E（0，4-m），

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+4-m，

代入A的坐標得，m+4=km+4-m，解得k=2，

∴直線AE的解析式為y=2x+4-m，

解

得，，

∴P（m-2，m），

∴S=（4-m）（m-2）=-m2+3m-2=-（m-3）2+，

∴S有最大值，

∴△OEP的面積S的取值范圍：0≤S≤．