Question

【題目】在平面直角坐標系中，點在軸正半軸上，，點為中點，點在射線上，把線段繞點順時針旋轉得到線段，設點的橫坐標為．請根據題意畫出圖形并完成下列問題：

（1）求的長；

（2）設點的橫坐標為，求與的關系式；

（3）在（2）的條件下，作點關于直線的對稱點，連接，當為等腰三角形時，求點的橫坐標的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）﹣5或－1或3．

【解析】

（1）在Rt△ABO中，根據OA=4，∠BAO=60°解直角三角形即可得到AB的長．作圖分兩種情況：①點D在A的下方，②點D在線段AB上；

（2）分三種情況討論：①當D在A的下方時，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

由點D的橫坐標為t，A的橫坐標為-4，得出t＜-4．用待定系數法求出直線AB的解析式為yx+4．設D(t，t+4)．通過證明△CDM≌△ECN，得到EN=CM，CN=DM．解直角三角形CAM得到AM，CM的長．利用兩點間距離公式得到AD．由t＜-4，得到AD=﹣8﹣2t，DM=﹣7﹣2t，CN=DM=﹣7﹣2t，ON=﹣5﹣2t，即可得到結論；

②當D在A的上方線段AB上，E在第二象限時，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．由點D的橫坐標為t，A的橫坐標為-4，得到t＞-4．同①可得：AM=1，CM=，AD==8+2t，DM=7+2t，CN=DM=7+2t，ON=﹣5﹣2t，即可得到結論；

③當D在A的上方線段AB上，E在第一象限時，同②可得結論；

（3）連接EF、FC、DF．設EC和DF相交于點H．證明四邊形DCFE是菱形，得到H平分DF和EC．設F(x，y)．由中點坐標公式可得x，y的值，從而得到F的坐標，表示出，，，然后分三種情況討論，解方程即可．

（1）∵C(﹣2，0)，

∴OC=2．

∵C為OA的中點，

∴OA=2OC=4．

∵∠BAO=60°，

∴∠ABO=30°，

∴OB=AC=，AB=2AO=8；

作圖分兩種情況：①點D在A的下方，如圖1；②點D在線段AB上，如圖2．

（2）分三種情況討論：①當D在A的下方時，如圖3．

作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

∵點D的橫坐標為t，A的橫坐標為-4，

∴t＜-4．

∵B(0，4)，A(﹣4，0)，

∴設直線AB的解析式為，把A(﹣4，0)代入得：，解得：，

∴直線AB的解析式為yx+4．

設D(t，t+4)．

∵∠DCE=∠BAC=60°，

∴∠ECN+∠ACD=∠ACD+∠CDM，

∴∠CDM=∠ECN，

在△CDM和△ECN中，

，

∴△CDM≌△ECN，

∴EN=CM，CN=DM．

∵AC=2，∠CAM=60°，

∴AM=1，CM=．

∵D(t，t+4)，A(-4，0)，

∴AD=．

∵t＜-4，

∴AD=﹣8﹣2t，

∴DM=﹣7﹣2t，

∴CN=DM=﹣7﹣2t，

∴ON=﹣5﹣2t，

∴點E坐標(2t+5，)，

∴E點橫坐標d=2t+5，

②當D在A的上方線段AB上，E在第二象限時，如圖4，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

∵點D的橫坐標為t，A的橫坐標為-4，

∴t＞-4．

同①可得：直線AB的解析式為yx+4，AM=1，CM=，AD=．

∵t＞-4

∴AD=8+2t，DM=7+2t，

∴CN=DM=7+2t，

∴ON=OC－CN=2－(7+2t)=﹣5﹣2t，

∴點E坐標(2t+5，)，

∴E點橫坐標d=2t+5．

③當D在A的上方線段AB上，E在第一象限時，如圖5，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

∵點D的橫坐標為t，A的橫坐標為-4，

∴t＞-4．

同②可得：直線AB的解析式為yx+4，AM=1，CM=，AD=．

∵t＞-4，

∴AD=8+2t，DM=7+2t，

∴CN=DM=7+2t，

∴ON=CN－OC=(7+2t)－2=2t+5，

∴點E坐標(2t+5，)，

∴E點橫坐標d=2t+5．

綜上所述：E點橫坐標d=2t+5．

（3）如圖6，連接EF、FC、DF．設EC和DF相交于點H．

∵D、F關于直線EC對稱，

∴DE=EF，DC=CF．

∵△DCE是等邊三角形，

∴DE=DC，

∴DE=DC=FC=EF=EC，

∴四邊形DCFE是菱形，

∴H平分DF和EC．

設F(x，y)．

∵C(﹣2，0)，E(2t+5，)，D(t，t+4)，

∴，

解得：，

∴D關于CE的對稱點F點的坐標為(t+3，)．

∵A(-4，0)，F(t+3，)

∴=16，=，

==．

∵△OAF是等腰三角形，

∴分三種情況討論：

①當OA=OF時，=，

∴，

解得：t=－5或t=－1，

∴d=2t+5=－5或3；

②當OF=AF時，=，

∴，

∴，

解得：t=－5，

∴d=2t+5=－5；

③當AF=OA時，=，

∴，

∴，

解得：t=－3或t=－5，

∴d=2t+5=－1或－5．

綜上所述：d的值為－5或－1或3．