Question

【題目】（1）觀察猜想：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，連接AD，把△ABD繞點A逆時針旋轉90°，點D落在點E處，如圖①所示，則線段CE和線段BD的數量關系是　 　，位置關系是　 　．

（2）探究證明：

在（1）的條件下，若點D在線段BC的延長線上，請判斷（1）中結論是還成立嗎？請在圖②中畫出圖形，并證明你的判斷．

（3）拓展延伸：

如圖③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=，其他條件不變，過點D作DF⊥AD交CE于點F，請直接寫出線段CF長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的結論仍然成立．理由見解析；（3）.

【解析】分析：（1）線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，根據旋轉的性質得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．

（2）證明的方法與（1）類似．

（3）過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根據旋轉的性質得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，則NE=MA，由于∠ACB=45°，則AM=MC，所以MC=NE，易得四邊形MCEN為矩形，得到∠DCF=90°，由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得，設DC=x，MD=1-x，利用相似比可得到CF=-x2+1，再利用二次函數即可求得CF的最大值．

詳解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

故答案為：CE=BD，CE⊥BD．

（2）（1）中的結論仍然成立．理由如下：

如圖，∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，

∴線段CE，BD之間的位置關系和數量關系分別為：CE=BD，CE⊥BD．

（3）如圖3，過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE

∴∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠NAE=∠ADM，

易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵∠ACB=45°，

∴△AMC為等腰直角三角形，

∴AM=MC，

∴MC=NE，

∵AM⊥BC，EN⊥AM，

∴NE∥MC，

∴四邊形MCEN為平行四邊形，

∵∠AMC=90°，

∴四邊形MCEN為矩形，

∴∠DCF=90°，

∴Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴，

設DC=x，

∵∠ACB=45°，AC=，

∴AM=CM=1，MD=1-x，

∴，

∴CF=-x2+x=-（x-）2+，

∴當x=時有最大值，CF最大值為．