Question

【題目】（11分）如圖，四邊形ABCD為菱形，點E為對角線AC上的一個動點，連結DE并延長交AB于點F，連結BE．

（1）如圖①，求證：∠AFD=∠EBC；

（2）如圖②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度數；

（3）若∠DAB=90°且當△BEF為等腰三角形時，求∠EFB的度數（只寫出條件與對應的結果）

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）60°；（3）30°或120°．

【解析】

試題（1）利用“SAS”得出△DCE≌△BCE，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性質結合垂直的定義得出∠DAB的度數；

（3）分兩種情況討論：①當F在AB延長線上時，②當F在線段AB上時，分別求出即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴DC=CB，在△DCE和△BCE中，∵DC=CB，∠DCE=∠BCE，EC=EC，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC=∠EBC，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠AFD，∴∠AFD=∠EBC；

（2）∵DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，設∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，則∠CBF=2x°，由BE⊥AF得：2x+x=90°，解得：x=30°，∴∠DAB=∠CBF=60°；

（3）分兩種情況：①如圖1，當F在AB延長線上時，

∵∠EBF為鈍角，∴只能是BE=BF，設∠BEF=∠BFE=x°，則：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°；

②如圖2，當F在線段AB上時，

∵∠EFB為鈍角，∴只能是FE=FB，設∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°，

綜上所述：∠EFB=30°或120°．