【題目】如圖，在矩形A′B′CD中，A′B′=10， B′C=8，以CD為直徑作⊙O．將矩形A′B′CD繞點C旋轉，使所得矩形ABCD′的邊AB與⊙O相切，切點為E．
(1)證明：CE平分∠BCD；
(2)求線段AE的長．
【答案】（1）詳見解析；（2）6
【解析】
（1）連接OE，利用切線的性質證得OE⊥AB，根據矩形的性質和旋轉的性質得到∠B=90°，即可證得OE∥BC，利用平行線的性質即可得到結論；
（2）過點O作OF⊥BC于點F，得到四邊形OEBF為矩形，求出OE得到CF，即可根據勾股定理求出OF，由此得到答案.
（1）連接OE，
∵直線AB與⊙O的相切，
∴OE⊥AB，
在矩形A′B′CD中∠B′=90°，
由旋轉可知∠B=90°，
∴OE∥BC，
∴∠BCE=∠OEC，
∴OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=∠BCE，
即CE平分∠BCD；
（2）過點O作OF⊥BC于點F，
則四邊形OEBF為矩形，
∴BF=OE=10÷2=5，
∴CF=8-5=3，
Rt△OFC中，
，
∴AE=AB-BE=AB-OF=10-4=6.
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的解析式為y=x2﹣6x﹣16，AB為半圓的直徑，則這個“果圓”被y軸截得的線段CD的長為_____．
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點D是AC的中點，連接BD，按以下步驟作圖：①分別以B，D為圓心，大于
BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和點Q；②作直線PQ交AB于點E，交BC于點F，則BF=（ ）
A. 
B. 1C. 
D. 
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【題目】從如圖所示的二次函數
（
）的圖象中，觀察得出了下面5條信息：①
；②
；③
；④
；⑤
.你認為其中正確的信息有（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖，A為反比例函數y＝
（其中x＞0）圖象上的一點，在x軸正半軸上有一點B，OB＝4．連接OA、AB，且OA＝AB＝2
．
（1）求k的值；
（2）過點B作BC⊥OB，交反比例函數y＝（x＞0）的圖象于點C．
①連接AC，求△ABC的面積；
②在圖上連接OC交AB于點D，求
的值．
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【題目】（閱讀）如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC邊上的高為h，M是底邊BC上的任意一點，點M到腰AB、AC的距離分別為h1，h2．連接AM．
∵
∴
（思考）在上述問題中，h1，h2與h的數量關系為： ．
（探究）如圖2，當點M在BC延長線上時，h1、h2、h之間有怎樣的數量關系式？并說明理由．
（應用）如圖3，在平面直角坐標系中有兩條直線l1：
，l2：y=－3x+3，若l2上的一點M到l1的距離是1，請運用上述結論求出點M的坐標．
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【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應地任務：
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數，公式和定理，下面是歐拉發現的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則
．下面是該定理的證明過程（部分）：
延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），
∴△MDI∽△ANI．∴
，∴
①
如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°．
∵⊙I與AB相切于點F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴
，∴
②
任務：（1）觀察發現：
，
（用含R，d的代數式表示）；
（2）請判斷BD和ID的數量關系，并說明理由．
（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務（1），（2）的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；
（4）應用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內心之間的距離為 cm．
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