Question

已知，Rt△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠A=90°，點B、C都在x軸上，且點A的坐標為（2，），∠ABC=30°，若拋物線y=ax²+bx+c恰好過A、B、C三點，且與y軸交于點D．
（1）求點B、C的坐標和拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點E是拋物線y=ax²+bx+c對稱軸上一動點，試確定當點E在何處時，△AEC的周長最小？最小是多少？
（3）若點P為拋物線在第一象限圖象上的動點，試確定當點P在何處時，四邊形PDBC的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點A作AF⊥x軸于點F，由點A的坐標為（2，），∠ABC=30°，利用直角三角形的性質，即可求得點B與C的坐標，然后利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）由（1），可求得拋物線的對稱軸，又由點B、C關于直線x=1對稱，求△AEC的周長的最小值，即為求AE+EC+AC的最小值，由對稱性知，AE+EC的最小值為AB的長，即當點E運動到AB與拋物線對稱軸x=1的交點處時，△AEC的周長最小，繼而可求得答案；
（3）首先連接結PO，設點P的坐標為（t，-），過點P分別向 x軸，y軸作垂線，垂足分別為N、G，由S_{四邊形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD，即可求得答案．
解答：解：（1）過點A作AF⊥x軸于點F，在Rt△AFB中，
∵∠ABC=30°，點A的坐標為（2，），
∴OF=2，AF=，∠ACF=60°，
∴BF==3，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴點B的點標為（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC==1，
∴點C的坐標為（3，0），
將A、B、C三點坐標分別代入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
∴該拋線的解析式為：y=-x²+x+…（4分）

（2）∵y=-x²+x+
=-（x-1）²+，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∴點B、C關于直線x=1對稱，
求△AEC的周長的最小值，即為求AE+EC+AC的最小值，
由對稱性知，AE+EC的最小值為AB的長，即當點E運動到AB與拋物線對稱軸x=1的交點處時，△AEC的周長最小，
由B（-1，0），A（2，）可得AB所在直線的解析式為：y=x+，…（7分）
當x=1時，y=，
故點E的坐標為（1，），
此時，△AEC的周長最小，最小值為AB+AC=+2…（8分）

（3）連接結PO，設點P的坐標為（t，-）其中O＜t＜3，
過點P分別向 x軸，y軸作垂線，垂足分別為N、G，
由（1）知，點D的坐標為（0，）…（9分）
則S_{四邊形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD
=×OC×PN+×OD×PG+×OB×OD
=×3×（-）+××t+×1×
=…（11分）
故當時，四邊形PDBC的面積最大，最大面積為，
此時點P的坐標為（，）．…（12分）
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、三角形周長最小值問題以及四邊形面積最小值問題．此題綜合性很強，難度很大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意準確作出輔助線．