Question

已知，Rt△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠A=90°，點B、C都在x軸上，且點A的坐標為（2，

3

），∠ABC=30°，若拋物線y=ax²+bx+c恰好過A、B、C三點，且與y軸交于點D．
（1）求點B、C的坐標和拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點E是拋物線y=ax²+bx+c對稱軸上一動點，試確定當點E在何處時，△AEC的周長最小？最小是多少？
（3）若點P為拋物線在第一象限圖象上的動點，試確定當點P在何處時，四邊形PDBC的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）首先過點A作AF⊥x軸于點F，由點A的坐標為（2，

3

），∠ABC=30°，利用直角三角形的性質，即可求得點B與C的坐標，然后利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）由（1），可求得拋物線的對稱軸，又由點B、C關于直線x=1對稱，求△AEC的周長的最小值，即為求AE+EC+AC的最小值，由對稱性知，AE+EC的最小值為AB的長，即當點E運動到AB與拋物線對稱軸x=1的交點處時，△AEC的周長最小，繼而可求得答案；
（3）首先連接結PO，設點P的坐標為（t，-

3

3

t2+

2 3

3

t+

3

），過點P分別向 x軸，y軸作垂線，垂足分別為N、G，由S_{四邊形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD，即可求得答案．

解答：解：（1）過點A作AF⊥x軸于點F，在Rt△AFB中，
∵∠ABC=30°，點A的坐標為（2，

3

），
∴OF=2，AF=

3

，∠ACF=60°，
∴BF=

AF

tan30°

=3，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴點B的點標為（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC=

AF

tan60°

=1，
∴點C的坐標為（3，0），
將A、B、C三點坐標分別代入y=ax²+bx+c得：

4a+2b+c= 3 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
∴該拋線的解析式為：y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

…（4分）

（2）∵y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=-

3

3

（x-1）²+

4 3

3

，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∴點B、C關于直線x=1對稱，
求△AEC的周長的最小值，即為求AE+EC+AC的最小值，
由對稱性知，AE+EC的最小值為AB的長，即當點E運動到AB與拋物線對稱軸x=1的交點處時，△AEC的周長最小，
由B（-1，0），A（2，

3

）可得AB所在直線的解析式為：y=

3

3

x+

3

3

，…（7分）
當x=1時，y=

2 3

3

，
故點E的坐標為（1，

2 3

3

），
此時，△AEC的周長最小，最小值為AB+AC=2

3

+2…（8分）

（3）連接結PO，設點P的坐標為（t，-

3

3

t2+

2 3

3

t+

3

）其中O＜t＜3，
過點P分別向 x軸，y軸作垂線，垂足分別為N、G，
由（1）知，點D的坐標為（0，

3

）…（9分）
則S_{四邊形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD
=

1

2

×OC×PN+

1

2

×OD×PG+

1

2

×OB×OD
=

1

2

×3×（-

3

3

t2+

2 3

3

t+

3

）+

1

2

×

3

×t+

1

2

×1×

3

=-

3

2

(t-

3

2

)2+

25 3

8

…（11分）
故當t=

3

2

時，四邊形PDBC的面積最大，最大面積為

25 3

8

，
此時點P的坐標為（

3

2

，

5 3

4

）．…（12分）

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、三角形周長最小值問題以及四邊形面積最小值問題．此題綜合性很強，難度很大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意準確作出輔助線．