Question

【題目】如圖，線段AB=10,射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且C、D與點B在AP兩側，在線段DP取一點E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合）.

（1）求證：△AEP△CEP；

（2）判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；

（3）求△AEF的周長

Answer 1

【答案】（1）△AEP≌△CEP；（2）垂直 ； 理由見詳解； （3）20 .

【解析】

（1）四邊形APCD正方形，則DP平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）△AEP≌△CEP，則∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，則∠FCP+∠CMP=90°，則∠AMF+∠PAB=90°。（3）證明△PCN≌△APB（AAS），則CN=PB=BF，PN=AB，即可求解。

證明：（1）∵四邊形APCD正方形，

∴DP平分∠APC, PC＝PA,

∴∠APD＝∠CPD＝45°，

在△AEP和△CEP

PC＝PA

∠APD＝∠CPD

PE=PE

∴△AEP≌△CEP(SAS).

(2) CF⊥AB．

理由如下： ∵△AEP≌△CEP,

∴∠EAP＝∠ECP，

∵∠EAP=∠BAP．

∴∠BAP＝∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，

∴∠AMF+∠PAB＝90°，

∴∠AFM＝90°，

∴CF⊥AB．

(3)過點 C 作CN⊥PB．可證得△PCN≌△APB,

∴ CN＝PB＝BF, PN＝AB,

∵△AEP≌△CEP, ∴AE＝CE,

∴AE+EF+AF

＝CE+EF+AF

＝BN+AF

＝PN+PB+AF

＝AB+CN+AF

＝AB+BF+AF

＝2 AB

＝20.