Question

【題目】閱讀下列材料，然后解決問題：和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用，

截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質等有關知識來解決數學問題．

（1）如圖1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是 ；

（2）問題解決：

如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC，邊CD上的兩點，且∠EAF=∠BAD，求證：BE+DF=EF．

（3）問題拓展：

如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，點D是△ABC外角平分線上一點，DE⊥AC交CA延長線于點E，F是AC上一點，且DF=DB．求證：AC-AE=AF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）延長AD到點E使DE=AD，連接BE，證明△ADC≌△EDB，根據全等三角形的性質得到BE=AC，根據三角形三邊關系計算；

（2）延長CB到G，使BG=DF，證明△ABG≌△ADF，根據全等三角形的性質得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，證明△AEG≌△AEF，根據全等三角形的性質證明；

（3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，分別證明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根據全等三角形的性質證明．

（1）延長AD到點E使DE=AD，連接BE，

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=8，

AB-BE＜AE＜AB+BE，即21-8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

故答案為：2＜AD＜10；

（2）證明：延長CB到G，使BG=DF，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°，

∴∠ADC=∠ABG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠BAD，

∴∠GAE=∠FAE，

在△AEG和△AEF中，

，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴EF=GE，

∴EF=BE+BG=BE+DF；

（3）證明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，

∵∠CAB=60°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=30°，

∴AB=2AC，

∵點D是△ABC外角平分線上一點，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE=DH，AH=AE，

在Rt△DEF和Rt△DHB中，

∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）

∴∠DFA=∠DBA，

在△DAF和△DRB中，

，

∴△DAF≌△DRB（SAS）

∴DA=DR，

∴AH=HR=AE=AR，

∵AF=BR=AB-AR=2AC-2AE

∴AC-AE=AF．