Question

【題目】某商家計劃從廠家采購空調和冰箱兩種產品共20臺，空調的采購單價y1（元/臺）與采購數量x1（臺）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數）；冰箱的采購單價y2（元/臺）與采購數量x2（臺）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數）．

（1）經商家與廠家協商，采購空調的數量不少于冰箱數量的，且空調采購單價不低于1200元，問該商家共有幾種進貨方案？

（2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調多少臺時總利潤最大？并求最大利潤．

Answer 1

【答案】（1）5 （2）采購空調15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．

【解析】

試題（1）由題意可設空調的采購數量為x臺，則冰箱的采購數量為（20﹣x）臺，根據題中的不等量關系可列出關于x的不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據空調臺數是正整數確定進貨方案；

（2）按常規可設總利潤為W元，根據總利潤等于空調和冰箱的利潤之和整理得到W與x的函數關系式，整理成頂點式形式，然后根據二次函數的性質求出最大值即可．

試題解析：（1）設空調的采購數量為x臺，則冰箱的采購數量為（20﹣x）臺，

由題意得，，

解不等式①得，x≥11，

解不等式②得，x≤15，

所以，不等式組的解集是11≤x≤15，

∵x為正整數，

∴x可取的值為11、12、13、14、15，

所以，該商家共有5種進貨方案；

（2）設總利潤為W元，

y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

則W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，

=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，

=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

當x＞9時，W隨x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴當x=15時，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），

答：采購空調15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．