Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，連結EB，交OD于點F．

（1）求證：OD⊥BE；

（2）若DE＝，AB＝10，求AE的長；

（3）若△CDE的面積是△OBF面積的，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8；（3）

【解析】

（1）連接AD．根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質以及平行線的性質即可證明；

（2）設AE＝x．根據圓周角定理的推論和勾股定理進行求解；

（3）設S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，求得S△CDE＝S△BDE＝5k，根據相似三角形的性質得到，求得S△ABE＝4S△OBF，于是得到S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，再由相似三角形的性質即可得到結論．

（1）連接AD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴，

∴OD⊥BE；

（2）∵∠AEB＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∵BD＝CD，

∴BC＝2DE＝，

∵四邊形ABDE內接于⊙O，

∴∠BAC+∠BDE＝180°，

∵∠CDE+∠BDE＝180°，

∴∠CDE＝∠BAC，

∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∴，即，

∴CE＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；

（3）∵，

∴設S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，

∵BD＝CD，

∴S△CDE＝S△BDE＝5k，

∵BD＝CD，AO＝BO，

∴OD∥AC，

∵△OBF∽△ABE，

∴，

∴S△ABE＝4S△OBF，

∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，

∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，

∵△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∵BC＝2CD，

∴．